वास्तविक संख्याएँ (Real numbers)- संख्याएँ की एक प्रकार हैं जो संख्याएँ और विशेषतया अंकों के बाद से होती हैं। वास्तविक संख्याएँ सूची में सभी संख्याएँ शामिल होती हैं, जैसे कि पूर्ण संख्याएँ, दशमलव, संख्याएँ जो अंकों से होती हैं।
(जैसे कि 3.14 या 2.718), और जोन संख्याएँ (जैसे कि √2 या √3)। वास्तविक संख्याएँ स्थानीय संख्याओं (Integers) से अधिक विस्तारपूर्ण होती हैं और वहाँ पूर्ण संख्याओं से अधिक संख्याएँ होती हैं।
वास्तविक संख्या (Real Numbers)
वास्तविक संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें संख्या रेखा पर प्रदर्शित किया जा सकता है। उनमें दोनों परिमेय संख्याएँ शामिल हैं (संख्याएँ जिन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जैसे कि 3/4 या -22/7) और अपरिमेय संख्याएँ (संख्याएँ जिन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जैसे √2 या π)।
वास्तविक संख्याएँ धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती हैं, और उन्हें दशमलव बिंदु के साथ या उसके बिना लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या 3 एक धनात्मक पूर्णांक है, जबकि -5 एक ऋणात्मक पूर्णांक है। संख्या 0.5 एक धनात्मक भिन्न है, जबकि -0.75 एक ऋणात्मक भिन्न है।
वास्तविक संख्याओं में कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं जो उन्हें गणितीय गणनाओं के लिए उपयोगी बनाते हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का समुच्चय जोड़ और घटाव के अंतर्गत संवृत्त होता है,
जिसका अर्थ है कि यदि आप दो वास्तविक संख्याओं को जोड़ते या घटाते हैं, तो परिणाम हमेशा एक वास्तविक संख्या होगी। 0 से भाग देने के अपवाद के साथ, वास्तविक संख्याएँ भी गुणा और भाग के अंतर्गत संवृत होती हैं।
गणित में वास्तविक संख्या एक महत्वपूर्ण अवधारणा है और इसका उपयोग मूल अंकगणित से लेकर उन्नत कैलकुलस और उससे आगे के अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला में किया जाता है।
प्राकृतिक संख्या (Natural Number)
एक प्राकृतिक संख्या एक सकारात्मक पूर्णांक है, जिसका अर्थ है कि यह 0 से अधिक एक पूर्ण संख्या है। प्राकृतिक संख्याओं के सेट को अक्सर N या ℕ के रूप में दर्शाया जाता है, और इसमें 1, 2, 3, 4, 5, और इसी तरह की संख्याएँ शामिल होती हैं।
प्राकृतिक संख्या का उपयोग अक्सर किसी सेट में वस्तुओं की संख्या की गणना करने या सेट के आकार का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। वे गणित में एक मौलिक अवधारणा हैं और कंप्यूटर विज्ञान, इंजीनियरिंग और विज्ञान सहित विभिन्न प्रकार के क्षेत्रों में उपयोग किए जाते हैं।
उदाहरण के लिए, यदि आपके पास पाँच पुस्तकों का एक सेट है, तो आप सेट के आकार को दर्शाने के लिए प्राकृत संख्या 5 का उपयोग कर सकते हैं। या, यदि आपके पास लोगों का एक समूह है और आप गिनना चाहते हैं कि कितने मौजूद हैं, तो आप गिनती का ट्रैक रखने के लिए प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग कर सकते हैं।
पूर्ण संख्या (Whole Numbers)
संपूर्ण संख्याएँ एक प्रकार की संख्याएँ हैं जो धनात्मक पूर्णांकों, या गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों को बिना किसी भिन्नात्मक या दशमलव घटक के दर्शाती हैं। दूसरे शब्दों में, पूर्ण संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, इत्यादि हैं।
इन नंबरों का उपयोग वस्तुओं की गणना करने, मात्राओं को मापने और विभिन्न गणितीय कार्यों को करने के लिए किया जाता है। संपूर्ण संख्याएँ गणित का एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं और कई अलग-अलग संदर्भों में उपयोग की जाती हैं।
पूर्णांक संख्या (integer number)
गणित में, एक पूर्णांक एक संख्या है जिसे भिन्नात्मक या दशमलव घटक के बिना लिखा जा सकता है। पूर्णांकों में धनात्मक संख्याएँ, ऋणात्मक संख्याएँ और शून्य शामिल हैं। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 1, -5, और 0 सभी पूर्णांक हैं।
प्रोग्रामिंग में, पूर्णांकों का उपयोग अक्सर उन मानों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है, जिन्हें सौवें या हज़ारवें स्थान के लिए सटीक होने की आवश्यकता नहीं होती है, जैसे कि गणना या रैंकिंग। प्रोग्रामिंग भाषाओं में पूर्णांक डेटा प्रकार आमतौर पर एक निश्चित सीमा के भीतर पूरे नंबरों को संग्रहीत करते हैं,
जैसे –32,768 से 32,767 16-बिट हस्ताक्षरित पूर्णांक डेटा प्रकार या 0 से 4,294,967,295 में 32-बिट अहस्ताक्षरित पूर्णांक डेटा प्रकार।
किसी दिए गए कार्य के लिए उपयुक्त पूर्णांक डेटा प्रकार चुनना महत्वपूर्ण है, क्योंकि आवश्यकता से कम श्रेणी वाले डेटा प्रकार का उपयोग करने से डेटा हानि या अतिप्रवाह त्रुटियां हो सकती हैं।
परिमेय संख्या (rational number)
गणित में, एक परिमेय संख्या कोई भी संख्या होती है जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या 1 एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे अनुपात 1/1 के रूप में लिखा जा सकता है, और संख्या 1/2 एक है क्योंकि इसे अनुपात 1/2 के रूप में लिखा जा सकता है।
परिमेय संख्याएँ धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती हैं, और उन्हें भिन्न या दशमलव के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, परिमेय संख्या 3/4 को दशमलव रूप में 0.75 लिखा जा सकता है।
गणित में परिमेय संख्याएँ महत्वपूर्ण हैं क्योंकि उनका उपयोग कई अलग-अलग प्रकार की मात्राओं, जैसे लंबाई, वजन और मौद्रिक राशियों को दर्शाने के लिए किया जा सकता है। वे इसलिए भी महत्वपूर्ण हैं क्योंकि उनमें कई उपयोगी गुण हैं, जैसे कि अंकगणित के नियमों का उपयोग करके जोड़ने, घटाने, गुणा करने और विभाजित करने की क्षमता।
सभी परिमेय संख्याओं के समुच्चय को प्रतीक Q द्वारा निरूपित किया जाता है, और यह सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का एक उपसमुच्चय है, जिसे प्रतीक R द्वारा निरूपित किया जाता है। सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय अनंत है, और इसमें सभी पूर्णांक भी शामिल हैं 1/3, 2/5 और 3/7 जैसे भिन्नों के रूप में।
अपरिमेय संख्या (irrational number)
एक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या है जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, यह एक संख्या है जिसे साधारण भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। अपरिमेय संख्याओं के उदाहरणों में पाई (π), 2 का वर्गमूल और सुनहरा अनुपात (φ) शामिल हैं।
अपरिमेय संख्याओं में अनंत संख्या में दशमलव स्थान होते हैं और एक पैटर्न में दोहराए नहीं जाते हैं। नतीजतन, उन्हें बिल्कुल दशमलव के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,
और दशमलव स्थानों की एक निश्चित संख्या के लिए अनुमानित होना चाहिए। उदाहरण के लिए, पाई का मान लगभग 3.14159 है, लेकिन इसमें वास्तव में अनंत संख्या में दशमलव स्थान हैं जो एक पैटर्न में दोहराए नहीं जाते हैं।
अपरिमेय संख्याएँ गणित में महत्वपूर्ण हैं और विज्ञान और इंजीनियरिंग में इसके कई अनुप्रयोग हैं। उनका उपयोग ज्यामिति में वृत्तों और अन्य आकृतियों की लंबाई और क्षेत्रफल की गणना करने के लिए किया जाता है, और वे गणित और भौतिकी के कई अन्य क्षेत्रों में दिखाई देते हैं।
सम संख्याएं (even numbers)
सम संख्याएँ पूर्णांक (पूर्ण संख्याएँ) हैं जो 2 से विभाज्य हैं। उदाहरण के लिए, 0, 2, 4, 6, 8 और 10 सभी सम संख्याएँ हैं।
विषम संख्या (odd number)
गणित में, एक विषम संख्या एक पूर्णांक है जो दो का गुणज नहीं है। इसे 2n+1 के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ n एक पूर्णांक है। उदाहरण के लिए, पहली छह विषम संख्याएँ 1, 3, 5, 7, 9 और 11 हैं।
एक विषम संख्या हमेशा एक सम संख्या से एक अधिक या एक कम होती है। सम संख्याएँ दो की गुणज होती हैं, जैसे 2, 4, 6, 8, 10, इत्यादि।
किसी संख्या की समता से तात्पर्य है कि वह सम है या विषम। सम संख्या को सम समता कहा जाता है, जबकि विषम संख्या में विषम समता होती है। विषम संख्याओं के कई गुण हैं जो आपको दिलचस्प लग सकते हैं।
दो विषम संख्याओं का योग सदैव सम होता है। उदाहरण के लिए, 1 + 3 = 4, जो एक सम संख्या है।
दो विषम संख्याओं का गुणनफल हमेशा विषम होता है। उदाहरण के लिए, 3 x 5 = 15, जो एक विषम संख्या है। एक विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है। उदाहरण के लिए, 3^2 = 9, जो एक विषम संख्या है।
अभाज्य संख्या (Prime number)
एक अभाज्य संख्या 1 से अधिक एक प्राकृतिक संख्या है जो दो छोटी प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल नहीं है। अभाज्य संख्याएँ गणित में एक महत्वपूर्ण अवधारणा हैं और अक्सर कंप्यूटर विज्ञान में उपयोग की जाती हैं।
पहले कुछ अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 और 23 हैं। अभाज्य संख्याओं में कई दिलचस्प गुण हैं और ये प्राकृतिक संख्याओं के निर्माण खंड हैं।
अभाज्य संख्याओं का एक गुण यह है कि उन्हें 1 और स्वयं को छोड़कर किसी अन्य संख्या से विभाजित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या 2 एक अभाज्य संख्या है क्योंकि इसे 1 और 2 के अलावा किसी अन्य संख्या से विभाजित नहीं किया जा सकता है।
अभाज्य संख्याओं की एक अन्य संपत्ति यह है कि उनका उपयोग अक्सर दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक (GCD) खोजने के लिए किया जाता है। जीसीडी सबसे बड़ी संख्या है जो दोनों संख्याओं को समान रूप से विभाजित कर सकती है।
अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्याएँ हैं, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि अभाज्य संख्याओं के वितरण का कोई पैटर्न है या नहीं। अभाज्य संख्याओं और उनके गुणों का अध्ययन गणित में अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र है।
सम संख्या (even number)
गणित में, एक सम संख्या एक धनात्मक पूर्णांक है जिसे दो छोटे धनात्मक पूर्णांकों को गुणा करके बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पूर्णांक 4, 6, 8 और 9 सम संख्याएँ हैं, क्योंकि उन्हें दो छोटे पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
4 को 2 x 2 के रूप में लिखा जा सकता है, 6 को 2 x 3, 8 के रूप में लिखा जा सकता है 2 x 4 के रूप में लिखा जा सकता है, और 9 को 3 x 3 के रूप में लिखा जा सकता है।
दूसरी ओर, अभाज्य संख्याएँ सकारात्मक पूर्णांक होती हैं जिनका 1 और स्वयं के अलावा कोई सकारात्मक पूर्णांक कारक नहीं होता है। उदाहरण के लिए, पहली छह अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11 और 13 हैं।
सम और अभाज्य दोनों संख्याओं की अनंत संख्याएँ हैं। पहली कुछ मिश्रित संख्याएँ 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 और 18 हैं।
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम (Euclid’s division algorithm)
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम दो धनात्मक पूर्णांकों का महत्तम समापवर्तक (GCD) ज्ञात करने की एक विधि है। इसका नाम प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे अपने काम “एलिमेंट्स” में वर्णित किया है।
यहाँ एल्गोरिथम है:
- A और B को दो सकारात्मक पूर्णांक होने दें, जिसके लिए आप GCD खोजना चाहते हैं।
- यदि बी B के बराबर है, तो A और B का GCD A है।
- यदि B 0 के बराबर नहीं है, तो A को B से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करें। मान लें कि R शेषफल है।
- A को B पर सेट करें, और B को R पर सेट करें।
- चरण 2 पर वापस जाएँ।
उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम 48 और 18 का GCD खोजना चाहते हैं। हम एल्गोरिथम का उपयोग इस प्रकार कर सकते हैं:
A = 48, B = 18
48 0 के बराबर नहीं है, इसलिए जब 48 को 18 से विभाजित किया जाता है तो हमें शेषफल मिलता है। शेषफल 12 है, इसलिए R = 12।
A = 18, B = 12
18 0 के बराबर नहीं है, इसलिए जब 18 को 12 से विभाजित किया जाता है तो हम शेष पाते हैं। शेष 6 है, इसलिए R = 6।
A = 12, B = 6
12 0 के बराबर नहीं है, इसलिए जब 12 को 6 से विभाजित किया जाता है तो हम शेषफल पाते हैं। शेषफल 0 है, इसलिए R = 0।
बी 0 के बराबर है, इसलिए 48 और 18 का जीसीडी ए है, जो कि 12 है।
यूक्लिड का विभाजन एल्गोरिदम दो संख्याओं के जीसीडी को खोजने का एक कुशल तरीका है और इसके कई व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं, जैसे कंप्यूटर एल्गोरिदम में बड़ी संख्या के साथ अंकगणितीय संचालन करने के लिए।
