प्रश्न 1. निम्नलिखित का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिद्म का उपयोग करें।
- 135 और 225
- 196 और 38220
- 867 और 255
हल:- 135 और 225
जैसा कि आप प्रश्न से देख सकते हैं, 225 135 से अधिक है। इसलिए, यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा, हमारे पास है,
225 = 135 × 1 + 90
अब, शेष 90 ≠ 0, इस प्रकार फिर से 90 के लिए विभाजन प्रमेयिका का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं,
135 = 90 × 1 + 45
पुनः, 45 ≠ 0, उपरोक्त चरण को 45 के लिए दोहराते हुए, हम प्राप्त करते हैं,
90 = 45 × 2 + 0
शेषफल अब शून्य है, इसलिए हमारी विधि यहीं समाप्त होती है। चूंकि, अंतिम चरण में भाजक 45 है, इसलिए, एचसीएफ (225,135) = HCF (135, 90) = HCF (90, 45) = 45।
अतः, 225 और 135 का म.स.प. 45 है।
हल:- 196 और 38220
इस दिए गए प्रश्न में, 38220>196, इसलिए यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म को लागू करके और 38220 को भाजक के रूप में लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं,
38220 = 196 × 195 + 0
हमें पहले ही यहाँ 0 के रूप में शेषफल मिल चुका है। इसलिए, एचसीएफ(196, 38220) = 196।
अतः, 196 और 38220 का म.स.प. 196 है।
हल:- 867 और 255
जैसा कि हम जानते हैं, 867, 255 से बड़ा है। आइए, अब हम 867 पर यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथम लागू करें, पाने के लिए,
867 = 255 × 3 + 102
शेषफल 102 ≠ 0, इसलिए 255 को भाजक के रूप में लेकर और विभाजन प्रमेयिका विधि को लागू करके, हम पाते हैं,
255 = 102 × 2 + 51
फिर से, 51 ≠ 0. अब 102 नया भाजक है, इसलिए हम उसी चरण को दोहराते हैं,
102 = 51 × 2 + 0
शेषफल अब शून्य है, इसलिए हमारी प्रक्रिया यहीं रुक जाती है। चूंकि, अंतिम चरण में भाजक 51 है, इसलिए, एचसीएफ (867,255) = एचसीएफ (255,102) = एचसीएफ (102,51) = 51।
अतः, 867 और 255 का म.स.प. 51 है।
प्रश्न 2. दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1, या 6q + 3, या 6q + 5 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।
हल:-
माना a कोई धनात्मक पूर्णांक है और b = 6 है। फिर, यूक्लिड के एल्गोरिथ्म द्वारा, a = 6q + r, किसी पूर्णांक q ≥ 0 के लिए, और r = 0, 1, 2, 3, 4, 5, क्योंकि 0≤r< 6.
अब r का मान प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं,
अगर आर = 0, तो ए = 6q
इसी तरह, r= 1, 2, 3, 4 और 5 के लिए, a का मान क्रमशः 6q+1, 6q+2, 6q+3, 6q+4 और 6q+5 है।
यदि a = 6q, 6q+2, 6q+4, तो a एक सम संख्या है और 2 से विभाज्य है। एक सकारात्मक पूर्णांक या तो सम या विषम हो सकता है इसलिए, कोई भी सकारात्मक विषम पूर्णांक 6q+1, 6q+ के रूप का होता है। 3 और 6q+5, जहाँ q कोई पूर्णांक है।
प्रश्न 3. 616 सदस्यों की एक सेना की टुकड़ी को परेड में 32 सदस्यों के एक सैन्य बैंड के पीछे मार्च करना है। दो समूहों को समान संख्या में स्तंभों में मार्च करना है। कॉलम की अधिकतम संख्या कितनी है जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?
हल:-
दिया गया,
सेना दल के सदस्यों की संख्या = 616
आर्मी बैंड के सदस्यों की संख्या = 32
यदि दो समूहों को एक ही स्तंभ में मार्च करना है, तो हमें दो समूहों के बीच उच्चतम सामान्य कारक का पता लगाना होगा। HCF(616, 32), स्तंभों की अधिकतम संख्या देता है जिसमें वे मार्च कर सकते हैं।
यूक्लिड के एल्गोरिदम का उपयोग करके उनका एचसीएफ खोजने के लिए, हम प्राप्त करते हैं,
चूंकि, 616>32, इसलिए,
616 = 32 × 19 + 8
चूंकि, 8 ≠ 0, इसलिए, 32 को नए भाजक के रूप में लेने पर, हमारे पास,
32 = 8 × 4 + 0
अब हमें 0 के रूप में शेषफल प्राप्त हुआ है, इसलिए HCF (616, 32) = 8 है।
इसलिए, स्तंभों की अधिकतम संख्या जिसमें वे मार्च कर सकते हैं 8 है।
प्रश्न 4. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।
हल:-
माना x कोई धनात्मक पूर्णांक है और y = 3 है।
यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा, तब,
किसी पूर्णांक q≥0 के लिए x = 3q + r और r = 0, 1, 2, r ≥ 0 और r <3 के रूप में।
इसलिए, x = 3q, 3q+1 और 3q+2
अब दिए गए प्रश्न के अनुसार, दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम पाते हैं,
x2 = (3q)2 = 9q2 = 3 × 3q2
माना 3q2 = मी
इसलिए, x2= 3m ……………………..(1)
x2 = (3q + 1)2 = (3q)2+12+2×3q×1 = 9q2 + 1 +6q = 3(3q2+2q) +1
स्थानापन्न, 3q2+2q = m, प्राप्त करने के लिए,
x2 = 3m + 1 ……………………………। (2)
x2= (3q + 2)2 = (3q)2+22+2×3q×2 = 9q2 + 4 + 12q = 3 (3q2 + 4q + 1)+1
दोबारा, 3q2+4q+1 = m, प्राप्त करने के लिए, प्रतिस्थापित करें
x2 = 3m + 1………………………… (3)
अतः समीकरण 1, 2 और 3 से हम कह सकते हैं कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक m के लिए या तो 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।
प्रश्न 5. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।
हल:-
माना x कोई धनात्मक पूर्णांक है और y = 3 है।
यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा, तब,
x = 3q+r, जहाँ q≥0 और r = 0, 1, 2, r ≥ 0 और r <3 के रूप में।
इसलिए, r का मान रखने पर, हम पाते हैं,
एक्स = 3q
या
एक्स = 3q + 1
या
एक्स = 3q + 2
अब उपरोक्त तीनों व्यंजकों का घन लेकर, हम पाते हैं,
स्थिति (i): जब r = 0, तब,
x2= (3q)3 = 27q3= 9(3q3)= 9m; जहां एम = 3q3
स्थिति (ii): जब r = 1, तब,
x3 = (3q+1)3 = (3q)3 +13+3×3q×1(3q+1) = 27q3+1+27q2+9q
9 को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लेने पर, हम पाते हैं,
x3 = 9(3q3+3q2+q)+1
रखने पर = m, हमें प्राप्त होता है,
(3q3+3q2+q) = m रखने पर,
x3 = 9मी+1
स्थिति (iii): जब r = 2, तब,
x3 = (3q+2)3= (3q)3+23+3×3q×2(3q+2) = 27q3+54q2+36q+8
9 को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लेने पर, हम पाते हैं,
x3=9(3q3+6q2+4q)+8
(3q3+6q2+4q) = m रखने पर,
x3 = 9मी+8
इसलिए, ऊपर बताई गई तीनों स्थितियों से यह सिद्ध होता है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।
